Hoy he presentado la breve exposición (de 15 minutos) que me quedaba pendiente para la optativa de matemáticas en inglés de Teoría de Distribuciones y Ecuaciones de Onda. Junto con lo que expuse en el post sobre la paradoja de Zenón, comento la paradoja del Hotel Infinito y la de Russel y el barbero, que paso a explicar aquí. Transparencias.

Paradoja del HOTEL INFINITO:
PROBLEMA:
2 grandes hoteleros quieren construir el hotel más grande del mundo. Se reúnen para acordar cuántas habitaciones debería tener.
- Debería tener 1000 habitaciones.
- No, porque si alguien construye un hotel de 2000 habitaciones ya sería más grande que el nuestro. Hagámoslo de 10.000.
- Pero si alguien construye uno de 20.000 sería más grande. ¿Qué tal 1.000.000 de habitaciones?
- Y si alguien….

Como siempre existe la posibilidad de construir algo mayor, concluyeron que sería necesario construir un hotel con infinitas habitaciones.

El hotel está lleno con infinitos invitados:

Infinito + 1:
…y llega uno. ¿Como alojarle si está lleno?
Pues sencillo. Se pide a cada huésped que aumente el número de su habitación con uno y se mueva a esa nueva. De esta forma todos se correrán un cuarto y se podrá alojar al nuevo en la primera habitación.

Doblando infinitos:
…y llegan infinitos huéspedes más. ¿Cómo se procura una habitación?
Se pide a todos los huéspedes que multipliquen su número de habitación por 2. De esta forma se ha procurado que todo el conjunto de números impares quede libre, y cómo se trata de un conjunto infinito, habrá sitio suficiente para alojar a los infinitos nuevos huéspedes.

Infinitos infinitos:
…y llegan infinitos grupos de huéspedes con infinitas personas cada grupo. ¿Cómo les alojamos?
Pues los huéspedes con habitaciones cuyo número es primo o una potencia de un primo (2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,17…) se moverán a la habitación con número 2ⁿ donde n es el número de su habitación. Los nuevos huéspedes se numeran de forma jerárquica: p es un número primo que designa el grupo al que pertenecen e i es un número impar que designa la persona dentro del grupo. De esta forma, como tanto el conjunto de números impares es infinito, como lo es el conjunto de números primos, todos los nuevos invitados podrán moverse a las habitaciones vacía numeradas como pⁱ. Una vez todos los infinitos huéspedes alojados todavía quedan infinitas habitaciones vacías correspondientes a las habitaciones con números p^e donde e es el conjunto de números pares (even).

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Paradoja de RUSSEL:
Esta paradoja se suele explicar con el ejemplo del barbero. Se trata de una paradoja de auto-referencia donde se llama a sí misma (una especie de recursividad)… y ¡cuántas veces no hemos estado en esas situaciones que son como una pescadilla mordiéndose la cola donde la resolución de una de sus partes depende del resultado de otra y viceversa!

Pues la historia del barbero dice:
Supón que hay una ciudad con sólo un barbero. Los hombres que sabenn afeitarse solos, lo hacen, y el barbero afeita únicamente a los que no saben.
¿Se afeita entonces el babero a sí mismo?

“En mi ciudad soy el único barbero. Me sé afeitar y me afeito, entonces el barbero de mi ciudad no debería afeitarme… ¡pero ese soy yo! Por el contrario, si no me afeito, entonces el barbero debería. ¡Pero yo soy el único babero en la ciudad!”

El planteamiento matemático de este círuclo vicioso lo explica Russel usando el conjunto de todos los conjuntos que NO son elementos de sí mismos (que incluye, y por tanto no incluye, y por tanto incluye a sí mismo).

CONTRADICCIÓN: Si este conjunto no es un miembro de sí mismo, tendría cualidades para serlo por la misma definición.

Llamemos “anormal” al conjunto que se contiene a sí mismo y “normal” si no. Por ejemplo, tomamos el conjunto de números cuadrados. Como el conjunto no es cuadrado en sí mismo, no se contiene y por tanto es “normal”. Pero en el caso complementario, como el conjunto contiene números y conjuntos que no son cuadrados y a su vez no es cuadrado, debería contenerse a sí mismo. Por lo tanto, es “anormal”.

Ahora consideremos un conjunto que contenga conjuntos normales llamado R. Si estableces que R sea “anormal” debería contenerse a sí mismo, y como sólo contiene conjuntos “normales” R debe ser normal… lo que contradice la hipótesis original. Paradójicamente llegamos a la conclusión de que R es “normal” y “anormal” a la misma vez.

Tags: hotel infinito, paradoja, russel

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